Wzory skróconego mnożenia

  • przez

Wzory skróconego mnożenia, przykłady przekształcania wzorów

Podczas obliczania wielomianów algebraicznych do uproszczenia obliczeń stosuje się uproszczone wzory skróconego mnożenia. Jest siedem takich formuł. Wszyscy muszą wiedzieć na pamięć.

Należy również pamiętać, że zamiast a i b we wzorach mogą występować zarówno liczby, jak i dowolne inne wielomiany algebraiczne.

Różnica kwadratów

Różnica kwadratów dwóch liczb jest równa iloczynowi różnicy tych liczb i ich sumy.

a 2 – b 2 = (a – b) (a + b)

Przykłady:

  • 15 2 – 2 2 = (15 – 2) (15 + 2) = 13 x 17 = 221
  • 9a 2 – 4b 2 with 2 = (3a – 2bc) (3a + 2bc)

Kwadrat sumy

Kwadrat sumy dwóch liczb jest równy kwadratowi pierwszej liczby plus podwojony iloczyn pierwszej przez drugą plus kwadrat drugiej liczby.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Pamiętaj, że użycie tej krótkiej formuły mnożenia ułatwia znajdowanie kwadratów dużych liczb bez używania kalkulatora lub mnożenia kolumn. Wyjaśnijmy na przykładzie:

Znajdź 112 2 .

Rozkładamy 112 na sumę liczb, których kwadraty dobrze pamiętamy2.
112 = 100 + 1
Sumę liczb zapisujemy w nawiasach, a nad nawiasami stawiamy kwadrat.
112 2 = (100 + 12) 2
Używamy wzoru sumy kwadratów:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Pamiętaj, że wzór na sumę kwadratów obowiązuje również dla dowolnych wielomianów algebraicznych.

(8a + s) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Ostrzeżenie!

(a + b) 2 nie jest równe a 2 + b 2

Kwadrat różnicy

Kwadrat różnicy dwóch liczb jest równy kwadratowi pierwszej liczby minus dwukrotność iloczynu pierwszej przez drugą plus kwadrat drugiej liczby.

(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2

Warto również pamiętać o bardzo przydatnej konwersji:

(a – b) 2 = (b – a) 2

Powyższy wzór można udowodnić po prostu otwierając nawiasy:

(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 = b 2 – 2ab + a 2 = (b – a) 2

Sześcian sumy

Sześcian sumy dwóch liczb jest równy sześcianowi pierwszej liczby plus potrojony iloczyn kwadratu pierwszej liczby przez drugą plus potrojony iloczyn pierwszej przez kwadrat drugiej plus sześcian drugiej .

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Zapamiętanie tej przerażająco wyglądającej formuły jest dość proste.

  • Dowiedz się, że na początku jest 3 .
  • Dwa wielomiany w środku mają współczynniki 3.
  • Przypomnij sobie, że dowolna liczba w zerowym stopniu to 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Łatwo zauważyć, że we wzorze następuje spadek stopnia a i wzrost stopnia b. Widać to:
    (a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Ostrzeżenie!

(a + b) 3 nie jest równe a 3 + b 3

Sześcian różnicy

Sześcian różnicy dwóch liczb jest równy sześcianowi pierwszej liczby minus potrójny iloczyn kwadratu pierwszej liczby przez drugą plus potrójny iloczyn pierwszej liczby przez kwadrat drugiej minus sześcian liczby druga.

(a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3

Ta formuła jest pamiętana jako poprzednia, ale tylko biorąc pod uwagę naprzemienne znaki „+” i „-”. Przed pierwszym członem 3 jest „+” (zgodnie z zasadami matematyki nie piszemy tego). Tak więc następnym członkiem będzie „-”, a następnie „+” itd.

(a – b) 3 = + a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3

Suma sześcianów

Suma sześcianów jest równa iloczynowi sumy dwóch liczb przez niekompletną kwadratową różnicę.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 – ab + b 2 )

Suma sześcianów jest iloczynem dwóch nawiasów.

  • Pierwszy nawias to suma dwóch liczb.
  • Drugi nawias to niepełny kwadrat różnicy liczb. Niepełna różnica kwadratów to wyrażenie:

a 2 – ab + b 2

Ten kwadrat jest niepełny, ponieważ w środku zamiast iloczynu podwojonego znajduje się zwykły iloczyn liczb.

Różnica sześcianów

Różnica sześcianów jest równa iloczynowi różnicy dwóch liczb przez niepełną sumę kwadratów.

a 3 – b 3 = (a – b) (a 2 + ab + b 2 )

Zachowaj ostrożność podczas pisania znaków.

Stosowanie skróconych wzorów mnożenia

Należy pamiętać, że wszystkie powyższe formuły są również używane od prawej do lewej.

Wiele przykładów w podręcznikach jest zaprojektowanych z myślą o tym, że używasz wzorów do zebrania wielomianu z powrotem.

Przykłady:

  • a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
  • (ac – 4b) (ac + 4b) = a 2 c 2 – 16b 2

Wzory skróconego mnożenia, przekształcanie wzorów – ściąga do pobrania

Pobierz ściągę